情報制御基礎では、プログラムで計算する所を、Excel のような表計算ソフトを用いて検証してもらったりする予定なので、Excel で計算式を使う方法を説明する。

セルの場所と簡単な式

簡単な、品名・単価・個数・価格の表を考える。以下の表のように、列の名前と、品名・単価・個数まで入力した後、単価と個数をかけた価格を求めるとする。

Excel では、表の列には左から、A,B,C,D… , 表の行には上から1,2,3,4,5 と番号が振られていて、特定の列・特定の行のデータを表す時には、列行を組み合わせ、A1に品名、B3に￥80、C5に4 が入っている。

例えば、D2 に、ノート単価120円、ノート個数3個をかけた値を入れたい場合は、D2の場所に、

=B2*C2

を書き込めば、その場所には360が表示される。

D3には、”=B3*C3″を入力すれば、160 が表示される。しかし、この様な式を何度も入力するのは面倒である。

この場合、セル・カーソルを、D2 に合わせ、[右ボタン]-[コピー]を行い、D3 で[右ボタン]-[貼り付けオプション]-[貼り付け]を行えば、”=B3*C3″が入力される。

ここで注意しないといけないのが、式を張り付ける場合には、貼り付け先のセルの場所が一つ下の行なので、行番号を表す2の部分が1つ下の行番号3に書き換えられて、貼り付けが行われる。(相対参照)

関数式

例えば、下左図のような、数字とその平方根の表を作る場合、A2 に 1、B2に =sqrt( A2 ) を入力、A3 に =A2+1 を入力したあと、B2の式をB3にコピー＆ペーストし、A3,B3　を A4～A6にペーストすればいい。

B2に入力したような、sqrt( A2 ) のようなものは、関数式と呼ばれる。

また、A3,B3 といった複数の行・列をまとめた範囲を示す時は、A3:B3 といった表記方法であらわす。

絶対参照と相対参照

最初の例に戻って、単価と個数の積で今度は税率を加えて計算する例を考える。また、税率は後で変化するかもしれないので、B1 のセルに税率を記入しておく場合を考える。

この場合、D3 には、” =B3*C3*(1+B1) ” を入力すればいい。

ただ、このように式を入力すると、D3 の計算式を、D4,D5,D6 にコピーすると、セル D4 には =B4*C4*(1+B2) が入力されてしまい、B2 には単価という文字が記載されているため、正しい結果が求まらない。

こういった場合には、絶対参照を用いる。D3 に記入する式を

=B3*C3*(1+$B$2)

とし、この D3 の式を D4 にコピー＆ペーストすると、列記号、行番号の前に$がついた部分の式は、貼り付け場所に応じて変化しない。

このような、$B$2 といったセルの参照は、絶対参照と呼ぶ。これに対し、B2 といったセル参照は、貼り付け場所に応じて書き換えられるので、相対参照と呼ぶ。

絶対参照と相対参照が混ざった、$B2, B$2 といった書き方もある。
式の入力時にF4ボタンを押す度に、B2→$B$2→B$2→$B2→B2 と変化する

$B2 は、式をコピーすると列部分はBのまま、行部分は場所に合わせて変化する。

B$2 は、式をコピーすると列部分は場所に合わせて変化し、行部分は2のままとなる。

レポート課題(2-2)

Excel で、xを0〜180度まで変化させたときのsin(x),位相をyとした時のsin(x+y)の値の表を作り、グラフ機能で表示せよ。

レポートには、セルにどのような式を入力したかの説明と、結果のグラフ(解りやすいように表示を工夫すること)をつけること。

実数型(float / double)

実数型は、単精度実数(float型)と、倍精度実数(double型)があり、それぞれ32bit,64bitでデータを扱う。

単精度型(float)では、符号1bit,指数部8bit,仮数部23bitで値を覚え、数値としては、以下の値を意味する。(精度が低いので普通のコンピュータではあまり使われることはない)

符号✕ 1.仮数部 ✕ 2^{指数部-127}

倍精度型(double)では、符号1bit,指数部11bit,仮数部52bitで値を覚え、数値としては、以下の意味を持つ。

符号✕ 1.仮数部 ✕ 2^{指数部-1023}

倍精度型を使えば、正しく計算できるようになるかもしれないが、実数型はただの加算でも仮数部の小数点の位置を合わせたりする処理が必要で、浮動小数点専用の計算機能を持っていないような、ワンチップコンピュータでは整数型にくらべると10倍以上遅い場合もある。

実数の注意点

C言語でプログラムを作成していて、簡単な数値計算のプログラムでも動かないと悩んだことはないだろうか？解らなくて友達のプログラムを真似したら動いたけど、なぜ自分のプログラムは動かなかったのか深く考えたことはあるだろうか？

単純な合計と平均

整数を入力し、最後に合計と平均を出力するプログラムを以下に示す。
しかし、C言語でこのプログラムを動かすと、10,10,20,-1 と入力すると、合計(sum)40,件数(cnt)3で、平均は13と表示され、13.33333 とはならない。

小数点以下も正しく表示するには、どうすればいいだろうか？
ただし、変数の型宣言を “double data,sum,cnt ;” に変更しないものとする。

// 入力値の合計と平均を求める。
#include <stdio.h>

int main() {
   int data ;
   int sum = 0 ;
   int cnt = 0 ;
   for(;;) {
      printf( "数字を入力せよ。-1で終了¥n" ) ;
      scanf( "%d" , &data ) ;
      if ( data < 0 )
         break ;
      cnt = cnt + 1 ;
      sum = sum + data ;
   }
   printf( "合計 %d¥n" , sum ) ;
   printf( "平均 %d¥n" , sum / cnt ) ;
}

C言語では、int型のsum / int型のcnt の計算は、int 型で計算を行う。このため、割り算だけ実数で行いたい場合は、以下のように書かないといけない。

   printf( "平均 %lf¥n" , (double)sum / (double)cnt ) ;
   // (double)式 は、sum を一時的に実数型にするための型キャスト

まずは動く例

以下のプログラムは、見れば判るけど、th を 0度〜360度まで5度刻みで変化させながら、y = sin(th) の値を表示するプログラム。

// sin の値を出力
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double th , y ;
    for( th = 0.0 ; th <= 360.0 ; th += 5.0 ) {
        y = sin( th / 180.0 * 3.1415926535 ) ;
        printf( "%lf %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

動かないプログラム

では、以下のプログラムはどうだろうか？

// case-1 ---- プログラムが止まらない
#define PI 3.1415926535
int main() {
    double th , y ;
    // 0〜πまで100分割でsinを求める
    for( th = 0.0 ; th != PI ; th += PI / 100.0 ) {
        y = sin( th ) ;
        printf( "%lf %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

// case-2 ---- y の値が全てゼロ
int main() {
    int    th ;
    double y ;
    for( th = 0 ; th <= 360 ; th += 5 ) {
        y = sin( th / 180 * 3.1415926535 ) ;
        printf( "%d %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

どちらも、何気なく読んでいると、動かない理由が判らないと思う。そして、元のプログラムと見比べながら、case-1 では、「!=」を「<=」に書き換えたり、case-2 では、「int th ;」を「double th ;」に書き換えたら動き出す。

では何が悪かったのか…
回答編

コンピュータの中では、2進数で値を表現するが、組み込み系のような小さいコンピュータでは、たくさんの桁を必要とする情報を扱うことが苦手である。そこで、C言語で数値を扱う型と、その型で扱える数値の範囲や問題点を説明する。

補足資料：プログラミングの基礎として、C言語の基礎を示す。

数値を扱う型

C言語では、データを覚える型を大きく2つに分けると、整数型(int)と実数型(float)に分けられる。

整数型(int)

整数型も正の値しか覚えられない符号無し型(unsigned int)と、符号付き型(signed int)に分けられる。さらに、その値を8bitで覚える文字型(char)、16bitで覚える short int型、32bitで覚える int 型、64bitで覚える long int 型(※C言語では long int で宣言すると32bitの場合も多いので要注意)がある。

符号付きのデータは、負の数は2の補数によって保存する。この場合2進数の最上位bitは、負の数であれば必ず1となる。

整数型で扱える数

例えば、2進数3桁であれば、000,001,010,011,100,101,110,111 で、10進数であれば 0～7 の8通りの値が扱える。

(例) 符号なしの1byte(8bit)であれば、いくつの数を扱えるであろうか？

一般的に N bit であれば、0～(2^N-1) までの値が扱える。

符号付きであれば、2の補数表現で最上位bitが0であれば正の数、1であれば負の数を表す。このため、N bit の符号つき整数は、-2^N-1から2^N-1-1の範囲の値を覚えられる。

数値の範囲の問題で動かないプログラム

この話だけだと、扱える数値の上限について実感がわかないかもしれないので、以下のプログラムをみてみよう。
組み込み系のコンピュータでは、int 型でも、一度に計算できるbit数が少ない。例えば、int型が16bitコンピュータでは、以下のプログラムは期待した値が計算できない。以下の例では、16bit int型として short int で示す。

// コード1
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() { // 原点から座標(x,y)までの距離を求める
   short int x  = 200 ;
   short int y  = 200 ;
   short int r2 = x*x + y*y ;  // (x,y)までの距離の2乗
   short int r  = sqrt( r2 ) ; // sqrt() 平方根
   printf( "%d\n" , r ) ;      // 何が求まるか？
   return 0 ;                  // (例) 282ではなく、120が表示された。
}

コンピュータで一定時間かかる処理を考えてみる。

// コード2.1
// 1 [msec] かかる処理が以下のように書いてあったとする。
short int i ;
for( i = 0 ; i < 1000 ; i++ )
   NOP() ; // NOP() = 約1μsecかかる処理とする。

// コード2.2
// 0.5 [sec]かかる処理を以下のようにかいた。
short int i ;
for( i = 0 ; i < 500000 ; i++ )
   NOP() ;
// でもこの処理は16bitコンピュータでは、1μsecもかからずに終了する。なぜか？

上記の例は、性能の低い16bit コンピュータの問題で、最近は32bit 整数型のコンピュータが普通だし、特に問題ないと思うかもしれない。でも、32bit でも扱える数の範囲で動かなくなるプログラムを示す。

OS(unix) では、1970年1月1日からの経過秒数で時間を扱う。ここで、以下のプログラムは、正しい値が計算できない有名な例である。(2004年1月11日にATMが動かなくなるトラブルの原因だった)

// コード3.1
int t1 = 1554735600 ; // 2019年4月09日,00:00
int t2 = 1555340400 ; // 2019年4月16日,00:00

// この2日の真ん中の日を求める。
//  以下のプログラムは、正しい 2019年4月12日12:00 が求まらない。なぜか？
int t_mid = (t1 + t2) / 2;  // (例) 1951年03月25日 08:45 になった。

// コード3.2
//  以下のプログラムは正しく動く。
//   time_t 型(時間処理用の64bit整数)
time_t t1 = 1554735600 ; // 2019年4月09日,00:00
time_t t2 = 1555340400 ; // 2019年4月16日,00:00

// たとえ32bitでも溢れない式
time_t t_mid = t1 + (t2 - t1) / 2 ;