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再帰関数の処理と再帰方程式

前回の授業で、処理速度のオーダ記法について解説し、 実際例と処理速度の問題について解説する。 後半は、再帰呼び出しの処理速度見積もりのための再帰方程式を示す。

特殊な処理時間の見積もり

前回授業の最後に検討しておくようにと伝えた、 の処理時間のオーダについて、Nが巨大となった時の、最大項を見つければ良いことから、 が、N→∞において 発散するのか収束するのかを求める方法にて説明する。

また、2つのアルゴリズムがNの増加で処理時間が変化する時の事例として、 「データ件数が10件で、最大選択ソートが10msec、クイックソートが20msec出会った場合、 データ100件では、どちらが速いか?、この結果から、 データ件数がいくつ以上であれば、どちらの方法が良いか?」 といった問題について説明する。

最大選択ソートであれば、 より、 であるとする。 一方、クイックソートは、 より、 であるとする。 より、 より、

これより、データ100件の場合には、 となる。 また、 となりクイックソートの方が速い。

さらに、 となるNを求めれば、N件以上は クイックソートが速い…といった件数を求められる。

再帰関数と再帰方程式

再帰関数は、自分自身の処理の中に「問題を小さくした」自分自身の呼び出しを含む関数。

// 階乗
int fact( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x * fact( x-1 ) ;
}
// ピラミッド体積
int pyra( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x*x + pyra( x-1 ) ;
}
// フィボナッチ数列
int fib( int x ) {
   if ( x <= 2 )
      return 1 ;
   else
      return fib( x-1 ) + fib( x-2 ) ;
}

これらの関数の結果について考えるとともに、この計算の処理時間を説明する。 最初のfact(),pyra()については、 x=1の時は、関数呼び出し,x<=1,return といった一定の処理時間を要し、 で表せる。 x>1の時は、関数呼び出し,x<=1,*,x-1,returnの処理に加え、x-1の値で再帰の処理時間がかかる。 このことから、 で表せる。 これを代入によって解けば、 で表せる。 こういった式は、再帰方程式と呼ばれ、一般式を求めることとなる。

最後に、再帰方程式の事例として、ハノイの塔の処理時間について説明し、 数学的帰納法での証明を示す。

ハノイの塔

ハノイの塔は、3本の塔にN枚のディスクを積み、ディスクの上により大きいディスクを積まずに、移動させるパズル。 ハノイの塔の移動回数を とした場合、 少ない枚数での回数の考察から、 ということが予想される。

この予想が常に正しいことを証明するために、ハノイの塔の処理を、 最も下のディスク1枚と、その上の(N-1)枚のディスクに分けて考える。 これより、


ということが言える。 ディスクが 枚で、予想が正しいと仮定すると、 枚では、



となり、 枚でも、予想が正しいことが証明された。 よって数学的帰納法により、1枚以上で予想が常に成り立つことが証明できた。