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宿直で、寮イベント焼き芋づくり

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再帰関数の処理と再帰方程式

前回の授業で、処理速度のオーダ記法について解説し、 実際例と処理速度の問題について解説する。 後半は、再帰呼び出しの処理速度見積もりのための再帰方程式を示す。

特殊な処理時間の見積もり

前回授業の最後に検討しておくようにと伝えた、 の処理時間のオーダについて、Nが巨大となった時の、最大項を見つければ良いことから、 が、N→∞において 発散するのか収束するのかを求める方法にて説明する。

また、2つのアルゴリズムがNの増加で処理時間が変化する時の事例として、 「データ件数が10件で、最大選択ソートが10msec、クイックソートが20msec出会った場合、 データ100件では、どちらが速いか?、この結果から、 データ件数がいくつ以上であれば、どちらの方法が良いか?」 といった問題について説明する。

最大選択ソートであれば、 より、 であるとする。 一方、クイックソートは、 より、 であるとする。 より、 より、

これより、データ100件の場合には、 となる。 また、 となりクイックソートの方が速い。

さらに、 となるNを求めれば、N件以上は クイックソートが速い…といった件数を求められる。

再帰関数と再帰方程式

再帰関数は、自分自身の処理の中に「問題を小さくした」自分自身の呼び出しを含む関数。

// 階乗
int fact( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x * fact( x-1 ) ;
}
// ピラミッド体積
int pyra( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x*x + pyra( x-1 ) ;
}
// フィボナッチ数列
int fib( int x ) {
   if ( x <= 2 )
      return 1 ;
   else
      return fib( x-1 ) + fib( x-2 ) ;
}

これらの関数の結果について考えるとともに、この計算の処理時間を説明する。 最初のfact(),pyra()については、 x=1の時は、関数呼び出し,x<=1,return といった一定の処理時間を要し、 で表せる。 x>1の時は、関数呼び出し,x<=1,*,x-1,returnの処理に加え、x-1の値で再帰の処理時間がかかる。 このことから、 で表せる。 これを代入によって解けば、 で表せる。 こういった式は、再帰方程式と呼ばれ、一般式を求めることとなる。

最後に、再帰方程式の事例として、ハノイの塔の処理時間について説明し、 数学的帰納法での証明を示す。

ハノイの塔

ハノイの塔は、3本の塔にN枚のディスクを積み、ディスクの上により大きいディスクを積まずに、移動させるパズル。 ハノイの塔の移動回数を とした場合、 少ない枚数での回数の考察から、 ということが予想される。

この予想が常に正しいことを証明するために、ハノイの塔の処理を、 最も下のディスク1枚と、その上の(N-1)枚のディスクに分けて考える。 これより、


ということが言える。 ディスクが 枚で、予想が正しいと仮定すると、 枚では、



となり、 枚でも、予想が正しいことが証明された。 よって数学的帰納法により、1枚以上で予想が常に成り立つことが証明できた。

C言語の構造体からオブジェクト指向に

前回の構造体の説明から、ポインタ渡しの説明を行った後、同様のプログラムをC++で書き換えることで、classやメソッドなどの説明を行う。

構造体でオブジェクト指向もどき

例えば、名前と電話番号の構造体で処理を記述する場合、 以下の様な記載を行うことで、データ設計者とデータ実装者で分けて 仕事ができることを説明。

struct Person {
   char name[10] ;
   int  phone ;
} ;
void readPerson( struct Person* p ) {
   // ポインタの参照で表記
   scanf("%s%d" ,
   (*p).name , &(*p).phone ) ;
}
void printPerson( struct Person* p ) {
   // アロー演算子で表記
   printf( "%s %d¥n" ,
   p->name , p->phone ) ;
}
void main() {
   struct Person table[ 10 ] ;
   for( int i = 0 ; i < 10 ; i++ ) {
      readPerson( &table[i] ) ;
      printPerson( &table[i] ) ;
   }
}

このプログラムの書き方では、mainの中を読むだけもで、 データ入力とデータ出力を行うことはある程度理解できる。 この時、データ構造の中身を知らなくてもプログラムが理解でき、 データ実装者はプログラムを記述できる。これをデータ構造の隠蔽化という。 一方、readPerson()や、printPerson()という関数の中身についても、 入力・出力の方法をどうするのか知らなくても、 関数名から動作は推測できプログラムも書ける。 これを手続きの隠蔽化という。

C++のクラスで表現

上記のプログラムをそのままC++に書き直すと以下のようになる。

class Person {
private: // クラス外からアクセスできない部分
   char name[10] ; // メンバーの宣言
   int  phone ;
public: // クラス外から使える部分
   void read() { // メソッドの宣言
      // pのように対象のオブジェクトを明記する必要はない。
      scanf( "%s%d" , name , &phone ) ;
   }
   void print() {
      printf( "%s %d¥n" , name , phone ) ;
   }
} ;
void main() {
   Person table[ 10 ] ;
   for( int i = 0 ; i < 10 ; i++ ) {
      table[i].read() ;  // メソッドの呼び出し
      table[i].print() ;  // オブジェクト.メソッド()
   }
   // 文法エラーの例
   printf( "%d¥n" , table[0].phone ) ;
   // phoneはprivateなので参照できない。
}

用語の解説:C++のプログラムでは、データ構造とデータの処理を、並行しながら記述する。 データ構造に対する処理は、メソッド(method)と呼ばれる。 データ構造とメソッドを同時に記載したものは、クラス(class)と呼ぶ。 そのclassに対し、具体的な値や記憶域が割り当てられたものをオブジェクト(object)と呼ぶ。

コンストラクタとデストラクタ

プログラムを記述する場合、そのデータ構造を使うにあたり、 初期値が代入を忘れその値を参照すると、予想外の動きの原因となってしまうことが多い。

そこでオブジェクト指向では、データ構造の初期化手続き(同様に処理が終わった後の事後手続き)を 明確に記載するための初期化のコンストラクタ(と事後処理はデストラクタ)の文法がある。

class Person {
private:
   char name[10] ;
   int  phone ;
public:
   Person( char s[] , int tel ) { // コンストラクタ
      strcpy( name , s ) ;
      phone = tel ;
   }
   void print() {
      printf( "%s %d¥n" , name , phone ) ;
   }
} ;
void main() {
   // オブジェクト宣言とコンストラクタでの初期化
   Person saitoh( "tsaitoh" , 272925 ) ;
   saitoh.print() ;
}

コンストラクタを宣言する場合には、返り値無しのクラス名を関数名として記述する。 デストラクタを宣言する場合には、先頭に「~」をつけたクラス名で無引数で記述する。 簡単な例として、文字列をヒープ領域に保存する処理を示す。

// デストラクタが便利な例
class String {
private:
   char* str ;
public:
   // コンストラクタ
   String( char*s ) {
      // ヒープメモリ上に文字列を確保
      str = (char*)malloc( strlen( s ) + 1 ) ;
      strcpy( str , s ) ;
   }
   // デストラクタ
   ~String() {
      free( str ) ; // freeしないとメモリーリークになる。
   }
   void print() {
      printf( "%s" , str ) ;
   }
} ;
void main() {
   String s( "abcdefg" ) ;
   s.print() ;
}  // mainを抜ける段階でsは不要となる。
// ここで自動的にデストラクタ呼び出し~String()をしてくれる。

関数の値渡しと、整数型の数値の範囲

丁度、講義の前に別授業の課題に取り組んでいる学生を見ていたら、 次週に説明を行おうと思っていたN進数、小数点を含む2進数であった。 丁度、「計算機構成論」の補数、「数値計算」の小数点を含む2進数の講義で、 いつもになく、内容と説明時期が重複している…(^_^;

関数の値渡し

関数との引数の値渡しについて解説。 C言語では基本の値渡しメカニズムしかない。 引数で副作用(side effect)を返したい場合は、その代用としてポインタ渡しを利用する。 また、配列が引数の場合、値渡しのためのコピーを最小限とするため、 配列先頭アドレスによるポインタ渡しで行われることを説明する。

// 値渡し
void foo( int x ) {
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;

   foo( a ) ; // 124
   foo( a ) ; // 124
}
// ポインタ渡し
void foo( int* px ) {
   (*px)++ ;
   printf( "%d¥n" , *px ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;

   foo( &a ) ; // 124
   foo( &a ) ; // 125
}
// 参照渡し(C++の新しい文法で紹介のみ)
void foo( int &x ) {
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;

   foo( a ) ; // 124
   foo( a ) ; // 125
}
// 配列でのポインタ渡し
void foo( int x[] ) {
   x[0]++ ;
   printf( "%d¥n" , x[0] ) ;
}
void main() {
   int a[1] = { 123 } ;

   foo( a ) ; // 124
   foo( a ) ; // 125
}

整数型の数値範囲

整数型などの数値範囲について説明を行うために、2の補数表現を復習したあと、 数値の範囲について説明する。

type          | range     | unsigned |    signed
--------------+-----------+----------+---------------
char          | 8bit      | 0..255   |   -128..127
short int     | 16bit     | 0..65535 | -32768..32767
int           | 32bit     | 0..2^32-1|  -2^31..2^31-1
long int      | ?32bit?   |          |
long long int | gcc 64bit | 0..2^64-1|  -2^63..2^63-1

数値範囲の大まかな計算のための2つの方法として、 や、 10進数での桁数の概算のために、 より、 といった計算を行う方法について説明。

次週は、16bitコンピュータで int が簡単に桁あふれする問題や、 2038年問題や2004年問題などを解説する予定。