この後の授業で、ポインタを使ったプログラムが増えるので、ポインタの理解の確認

ポインタと引数

値渡し

// 値渡しのプログラム
void foo( int x ) {  // x は局所変数(仮引数は呼出時に
                     // 対応する実引数で初期化される。
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;
   foo( a ) ;  // 124
               // 処理後も main::a は 123 のまま。
   foo( a ) ;  // 124
}

このプログラムでは、aの値は変化せずに、124,124 が表示される。
でも、プログラムによっては、124,125 と変化して欲しい場合もある。
どのように記述すべきだろうか？

// 大域変数を使う場合
int x ;
void foo() {
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   x = 123 ;
   foo() ;  // 124
   foo() ;  // 125
}

しかし、このプログラムは大域変数を使うために、間違いを引き起こしやすい。

// 大域変数が原因で予想外の挙動をしめす簡単な例
int i ;
void foo() {
   for( i = 0 ; i < 2 ; i++ )
      printf( "A" ) ;
}
void main() {
   for( i = 0 ; i < 3 ; i++ )  // このプログラムでは、AA AA AA と
      foo() ;                   // 表示されない。
}

静的局所変数

大域変数を使わない方法としては、静的局所変数( static )を使う方法もある。

// 静的局所変数を使う場合
void foo() {
   static int x = 123 ; // x は foo の内部でのみ使用可
                        // x はプログラム起動時に作られ 123 で初期化される。
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   foo() ;  // 124
   foo() ;  // 125
   // ここで x = 321 といった代入はできない
}

静的局所変数は、変数の寿命が大域変数と同じように、プログラム起動から終了までの間だが、参照できるスコープは所属するブロック内に限られる。

ポインタ渡し

C言語で引数を通して、呼び出し側の値を変化して欲しい場合は、変更して欲しい変数のアドレスを渡し、関数側では、ポインタ変数を使って受け取った変数のアドレスの示す場所の値を操作する。

// ポインタ渡しのプログラム
void foo( int* p ) {  // p はポインタ
   (*p)++ ;
   printf( "%d¥n" , *p ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;
   foo( &a ) ;  // 124
                // 処理後 main::a は 124 に増えている。
   foo( &a ) ;  // 124
}               // さらに125と増える。

ポインタを利用して引数に副作用を与える方法は、ポインタを正しく理解していないプログラマーでは、危険な操作となる。C++では、ポインタ渡しを使わないようにするために、参照渡しを利用する。

参照渡し

// ポインタ渡しのプログラム
void foo( int& x ) {  // xは参照
   x++ ;
   printf( "%d¥n" , x ) ;
}
void main() {
   int a = 123 ;
   foo( a ) ;  // 124
               // 処理後 main::a は 124 に増えている。
   foo( a ) ;  // 124
}              // さらに125と増える。

ポインタ渡しを使う処理

// ポインタ渡しのプログラム
void swap( int* pa , int* pb ) {
   int t = *pa ;
   *pa = *pb ;
   *pb = t ;
}
void main() {
   int a = 123 ;
   int b = 111 ;
   swap( &a , &b ) ;
   printf( "%d %d¥n" , a , b ) ;
}

再帰関数と再帰方程式

再帰関数は、自分自身の処理の中に「問題を小さくした」自分自身の呼び出しを含む関数。プログラムには問題が最小となった時の処理があることで、再帰の繰り返しが止まる。

// 階乗 (末尾再帰)
int fact( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x * fact( x-1 ) ;
}
// ピラミッド体積 (末尾再帰)
int pyra( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x*x + pyra( x-1 ) ;
}
// フィボナッチ数列 (非末尾再帰)
int fib( int x ) {
   if ( x <= 2 )
      return 1 ;
   else
      return fib( x-1 ) + fib( x-2 ) ;
}

これらの関数の結果について考えるとともに、この計算の処理時間を説明する。 最初のfact(),pyra()については、 x=1の時は、関数呼び出し,x<=1,return といった一定の処理時間を要し、 で表せる。 x>1の時は、関数呼び出し,x<=1,*,x-1,returnの処理に加え、x-1の値で再帰の処理時間がかかる。 このことから、 で表せる。

}

再帰方程式

このような再帰を使って表した式は再帰方程式と呼ばれる。これを代入によって解けば、一般式  が得られる。

fact() や pyra() のような関数は、プログラムの末端に再帰が行われている。(fib()は、再帰の一方が末尾ではない)
このような再帰は、末尾再帰と呼ばれ、関数呼び出しの return を、再帰処理の先頭への goto 文に最適化が可能である。つまり繰り返し処理に書き換えが可能である。このため、ループにすれば局所変数を消費しない。

再帰を含む一般的なプログラム例

ここまでの再帰方程式は、再帰の度にNの値が1減るものばかりであった。もう少し一般的なプログラムで再帰方程式を使って処理時間を考えてみよう。
以下のプログラムを実行したらどんな値になるであろうか？それを踏まえ、処理時間はどのように表現できるであろうか？

int array[ 8 ] = {
  3 , 6 , 9 , 1 , 8 , 2 , 4 , 5 ,
} ;

int sum( int a[] , int L , int R ) { // 非末尾再帰
    if ( R - L == 1 ) {
        return a[ L ] ;
    } else {
        int M = (L + R) / 2 ;
        return sum( a , L , M ) + sum( a , M , R ) ;
    }
}
int main() {
    printf( "%d¥n" , sum( array , 0 , 8 ) ) ;
    return 0 ;
}

このプログラムでは、配列の合計を計算しているが、引数の L,R は、合計範囲の 左端・右端を表している。そして、再帰のたびに２つに分割して解いている。

このような、処理を分割し、分割した処理を再帰で計算し、その分割した処理結果を組み合わせて結果を求めるような処理方法を、分割統治法と呼ぶ。

このことから、以下の再帰方程式が得られる。

これを、代入法により解いていくと、

ということで、このプログラムの処理時間は、 で表される。

最後に、再帰方程式の事例として、ハノイの塔の処理時間について説明し、 数学的帰納法での証明を示す。

ハノイの塔

ハノイの塔は、３本の塔にN枚のディスクを積み、ディスクの上により大きいディスクを積まずに、移動させるパズル。

一般解の予想

ハノイの塔の移動回数を とした場合、 少ない枚数での回数の考察から、  … ① ということが予想ができる。
この予想が常に正しいことを証明するために、ハノイの塔の処理を、 最も下のディスク1枚と、その上の(N-1)枚のディスクに分けて考える。

再帰方程式

上記右の図より、N枚の移動をするためには、上に重なるN-1枚を移動させる必要があるので、

 … ②
　… ③

ということが言える。(ハノイの塔の移動回数の再帰方程式)
ディスクが枚の時、予想が正しいのは明らか①,②。
ディスクが 枚で、予想が正しいと仮定すると、 枚では、

　… ③
 … ①

となり、 枚でも、予想が正しいことが証明された。 よって数学的帰納法により、1枚以上で予想が常に成り立つことが証明できた。

理解度確認

• 前再帰の「ピラミッドの体積」pyra() を、ループにより計算するプログラムを記述せよ。
• 前講義での2分探索法のプログラムを、再帰によって記述せよ。(以下のプログラムを参考に)
• 再帰のフィボナッチ関数 fib() の処理時間にふさわしい再帰方程式を示せ

int a[ 10 ] = {
   7 , 12 , 22 , 34 , 41 , 56 , 62 , 78 , 81 , 98
} ;
int find( int array[] , int L , int R , int key ) { // 末尾再帰
   // 目的のデータが見つかったら 1,見つからなかったら 0 を返す。
   if ( __________ ) {
      return ____ ; // 見つからなかった
   } else {
      int M = _________ ;
      if ( array[ M ] == key )
         return ____ ;
      else if ( array[ M ] > key )
         return find( array , ___ , ___ , key ) ;
      else
         return find( _____ , ___ , ___ , ___ ) ;
   }
}
int main() {
   if ( find( a , 0 , 10 , 56 ) )
      printf( "みつけた¥n" ) ;
}