再帰関数と再帰方程式

再帰関数は、自分自身の処理の中に「問題を小さくした」自分自身の呼び出しを含む関数。プログラムには問題が最小となった時の処理があることで、再帰の繰り返しが止まる。

// 階乗
int fact( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x * fact( x-1 ) ;
}
// ピラミッド体積
int pyra( int x ) {
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x*x + pyra( x-1 ) ;
}
// フィボナッチ数列
int fib( int x ) {
   if ( x <= 2 )
      return 1 ;
   else
      return fib( x-1 ) + fib( x-2 ) ;
}

これらの関数の結果について考えるとともに、この計算の処理時間を説明する。 最初のfact(),pyra()については、 x=1の時は、関数呼び出し,x<=1,return といった一定の処理時間を要し、 で表せる。 x>1の時は、関数呼び出し,x<=1,*,x-1,returnの処理に加え、x-1の値で再帰の処理時間がかかる。 このことから、 で表せる。 これを代入によって解けば、 で表せる。 こういった式は、再帰方程式と呼ばれ、一般式を求めることとなる。

fact() や pyra() のような関数は、プログラムの末端に再帰が行われている。(fib()は、再帰の一方が末尾ではない)
このような再帰は、末尾再帰と呼ばれ、関数呼び出しの return を、再帰処理の先頭への goto 文に最適化が可能である。つまり繰り返し処理に書き換えが可能である。このため、ループにすれば局所変数を消費しない。

最後に、再帰方程式の事例として、ハノイの塔の処理時間について説明し、 数学的帰納法での証明を示す。

ハノイの塔

ハノイの塔は、３本の塔にN枚のディスクを積み、ディスクの上により大きいディスクを積まずに、移動させるパズル。

一般解の予想

ハノイの塔の移動回数を とした場合、 少ない枚数での回数の考察から、 ということが予想ができる。
この予想が常に正しいことを証明するために、ハノイの塔の処理を、 最も下のディスク1枚と、その上の(N-1)枚のディスクに分けて考える。

再帰方程式

これより、

ということが言える。
ディスクが枚の時、予想が正しいのは明らか。
ディスクが 枚で、予想が正しいと仮定すると、 枚では、

となり、 枚でも、予想が正しいことが証明された。 よって数学的帰納法により、1枚以上で予想が常に成り立つことが証明できた。

再帰を含む一般的なプログラム例

ここまでの再帰方程式は、再帰の度にNの値が1減るものばかりであった。もう少し一般的なプログラムで再帰方程式を使って処理時間を考えてみよう。
以下のプログラムを実行したらどんな値になるであろうか？それを踏まえ、処理時間はどのように表現できるであろうか？

int array[ 8 ] = {
  3 , 6 , 9 , 1 , 8 , 2 , 4 , 5 ,
} ;
int sum( int a[] , int L , int R ) {
    if ( R - L == 1 ) {
        return a[ L ] ;
    } else {
        int M = (L + R) / 2 ;
        return sum( a , L , M ) + sum( a , M , R ) ;
    }
}
int main() {
    printf( "%d¥n" , sum( array , 0 , 8 ) ) ;
    return 0 ;
}
//                         s(0,8) ← sum(a,0,8)
//                      ／　　　  　＼ 
//                  ／　            　　＼ 
//            s(0,4)                      s(4,8)
//           ／　　＼　　                 ／　　＼
//     s(0,2)        s(2,4)        s(4,6)        s(6,8)
//    ／    ＼      ／   ＼        ／   ＼       ／   ＼
// s(0,1) s(1,2) s(2,3) s(3,4) s(4,5) s(5,6) s(6,7) s(7,8)

このプログラムでは、配列の合計を計算しているが、引数の L,R は、合計範囲の 左端・右端を表している。そして、再帰のたびに２つに分割して解いている。

このような、処理を分割し、分割した処理を再帰で計算し、その分割した処理結果を組み合わせて結果を求めるような処理方法を、分割統治法と呼ぶ。

このことから、以下の再帰方程式が得られる。

これを、代入法により解いていくと、

ということで、このプログラムの処理時間は、 で表される。