配列やリスト構造のデータの中から、目的となるデータを探す場合、配列であれば2分探索法が用いられる。これにより、配列の中からデータを探す処理は、O(log N)となる。(ただし事前にデータが昇順に並んでいる必要あり)

// 2分探索法
int array[ 8 ] = { 11, 13 , 27, 38, 42, 64, 72 , 81 } ;

int bin_search( int a[] , int key , int L , int R ) {
   // Lは、範囲の左端
   // Rは、範囲の右端+1 (注意!!)
   while( R > L ) {
      int m = (L + R) / 2 ;
      if ( a[m] == key )
         return key ;
      else if ( a[m] > key )
         R = m ;
      else
         L = m + 1 ;
   }
   return -1 ; // 見つからなかった
}

void main() {
   printf( "%d¥n" , bin_search( array , 0 , 8 ) ) ;
}

一方、リスト構造ではデータ列の真ん中のデータを取り出すには、先頭からアクセスするしかないのでO(N)の処理時間がかかり、極めて効率が悪い。リスト構造のようにデータの追加が簡単な特徴をもったまま、もっとデータを高速に探すことはできないものか？

2分探索木

ここで、データを探すための効率の良い方法として、2分探索木(2分木)がある。以下の木のデータでは、分離する部分に1つのデータと、左の枝(下図赤)と右の枝(下図青)がある。

この枝の特徴は何だろうか？この枝では、中央のデータ例えば42の左の枝には、42未満の数字の枝葉が繋がっている。同じように、右の枝には、42より大きな数字の枝葉が繋がっている。この構造であれば、64を探したいなら、42より大きい→右の枝、72より小さい→左の枝、64が見つかった…と、いう風にデータを探すことができる。

特徴としては、1回の比較毎にデータ件数は、(N-1)/2件に減っていく。よって、この方法であれば、O(log N)での検索が可能となる。これを2分探索木とよぶ。

このデータ構造をプログラムで書いてみよう。

struct Tree {
   struct Tree* left ;
   int          data ;
   struct Tree* right ;
} ;

// 2分木を作る補助関数
struct Tree* tcons( struct Tree* L ,
                    int          d ,
                    struct Tree* R ) {
   struct Tree* n = (struct Tree*)malloc(
                       sizeof( struct Tree ) ) ;
   if ( n != NULL ) { /* (A) */
      n->left = L ;
      n->data = d ;
      n->right = R ;
   }
   return n ;
}

// 2分探索木よりデータを探す
int tree_search( struct List* p , int key ) {
   while( p != NULL ) {
      if ( p->data == key )
         return key ;
      else if ( p->data > key )
         p = p->left ;
      else
         p = p->right ;
   }
   return -1 ; // 見つからなかった
}
struct Tree* top = NULL ;

void main() {
   // 木構造をtcons()を使って直接生成 (B)
   top = tcons( tcons( tcons( NULL , 13 , NULL ) ,
                       27 ,
                       tcons( NULL , 38 , NULL ) ) ,
                42 ,
                tcons( tcons( NULL , 64 , NULL ) ,
                       72 ,
                       tcons( NULL , 81 , NULL ) ) ) ;
   printf( "%d¥n" , tree_search( top , 64 ) ) ;
}

この方式の注目すべき点は、struct Tree {…} で宣言しているデータ構造は、2つのポインタと1つのデータを持つという点では、双方向リストとまるっきり同じである。データ構造の特徴の使い方が違うだけである。

理解度確認

• 上記プログラム中の、補助関数tcons() の(A)の部分 “if ( n != NULL )…” の判定が必要な理由を答えよ。
• 同じくmain() の (B) の部分 “top = tcons(…)” において、末端部に NULL を入れる理由を答えよ。

2分木に対する処理

2分探索木に対する簡単な処理を記述してみよう。

// データを探す
int search( struct Tree* p , int key ) {
   // 見つかったらその値、見つからないと-1
   while( p != NULL ) {
      if ( p->data == key )
         return key ;
      else if ( p->data > key )
         p = p->left ;
      else
         p = p->right ;
   }
   return -1 ;
}
// データを全表示
void print( struct Tree* p ) {
   if ( p != NULL ) {
      print( p->left ) ;
      printf( "%d¥n" , p->data ) ;
      print( p->right ) ;
   }
}
// データ件数を求める
int count( struct Tree* p ) {
   if ( p == NULL )
      return 0 ;
   else
      return 1
             + count( p->left )
             + count( p->right ) ;
}
// データの合計を求める
int sum( struct Tree* p ) {
   if ( p == NULL )
      return 0 ;
   else
      return p->data
             + count( p->left )
             + count( p->right ) ;
}
// データの最大値
int max( struct Tree* p ) {
   while( p->right != NULL )
      p = p->right ;
   return p->data ;
}

これらの関数では、木構造の全てに対する処理を実行する場合には、再帰呼び出しが必要となる。

• 2分探索木の深さ優先探索と幅優先探索

2分ヒープ(binary heap)

2分探索木では、１つのノードにつき2つのポインタを持ち、データ1件あたりのメモリの使用量が多い。通常の「配列の先頭から昇順にデータを並べる2分探索法」では、途中にデータを挿入する場合、データを後ろにずらす必要があるため、O(N)の処理時間を要する。

これらの問題の解決法の１つとして、2分ヒープがある。左右に均一に成長している2分探索木で、上から番号を以下の様に振ると、i番目のデータの左の枝は 2×i+1 番目、右の枝は 2×i+2 番目であることが判る。

このような順序で配列にデータを保存する方法が2分ヒープである。この方式ならアルゴリズムの説明は省略するが、O(log(N))で挿入が可能となる。

int a[ 7 ] = { 53 , 11 , 86 , 10 , 22 , 65 , 92 } ;

// 2分ヒープを表示
void print_heap( int array[] , int idx , int size ) {
   if ( idx < size ) {
      // 左の枝を表示
      print_heap( array , 2*idx + 1 , size ) ;
      // 真ん中の枝を表示
      printf( "%d " , array[ idx ] ) ;
      // 右の枝を表示
      print_heap( array , 2*idx + 2 , size ) ;
   }
}

// 2分ヒープから key を検索
int find_heap( int array[] , int idx , int size , int key ) {
   while( idx < size ) {
      if ( array[ idx ] == key )
         return idx ; // 見つかったら配列の番号を返す
      else if ( array[ idx ] _____ key )  // 何が入るか考えよう
         idx = ________________ ;
      else
         idx = ________________ ;
   }
   return -1 ; // 見つからなかったら、-1 を返す
}
int main() {
   print_heap( a , 0 , 7 ) ;
   if ( find_heap( a , 0 , 7 , 65 ) >= 0 )
      printf( "Find!!¥n" ) ;
   return 0 ;
} 

• bin-heap.cxx

前期期末試験のテスト返却と解説を行ってから、ランダムアクセスO(1)とシーケンシャルアクセスO(N)の説明を踏まえ、リスト構造のO(N)の改善にむけた解説を行う。

リスト構造の利点と欠点

リストを使った集合演算のように、データを連ねたリストは、単純リストとか線形リストと呼ばれる。特徴はデータ数に応じてメモリを確保する点や、途中へのデータの挿入削除が得意な点があげられる。一方で、配列は想定最大データ件数で宣言してしまうと、実際のデータ数が少ない場合、メモリの無駄も発生する。しかし、想定件数と実データ件数がそれなりに一致していれば、無駄も必要最小限となる。リスト構造では、次のデータへのポインタを必要とすることから、常にポインタ分のメモリは、データにのみ注目すれば無駄となる。

例えば、整数型のデータを最大 MAX 件保存したいけど、実際は それ以下の、平均 N 件扱うとする。この時のメモリの使用量 M は、以下のようになるであろう。

配列の場合	リスト構造の場合
	(ただしヒープ管理用メモリ使用量は無視)

シーケンシャルアクセス・ランダムアクセス

もう１つの欠点がシーケンシャルアクセスとなる。テープ上に記録された情報を読む場合、後ろのデータを読むには途中データを読み飛ばす必要があり、データ件数に比例したアクセス時間を要する。このような N番目 データ参照に、O(N)の時間を要するものは、シーケンシャルアクセスと呼ばれる。

一方、配列はどの場所であれ、一定時間でデータの参照が可能であり、これは ランダムアクセスと呼ばれる。N番目のアクセス時間がO(1)を要する。

このため、プログラム・エディタの文字データの管理などに単純リストを用いた場合、１つ前の行に移動するには、先頭から編集行までの移動で O(N) の時間がかかり、大量の行数の編集では、使いものにならない。ここで、シーケンシャルアクセスでも１つ前にもどるだけでも処理時間を改善してみよう。

単純リストから双方向リストへ

ここまで説明してきた単純リストは、次のデータへのポインタを持つ。ここで、１つ後ろのデータ(N番目からN+1番目)をアクセスするのは簡単だけど、１つ前のデータ(N-1番目)を参照しようと思ったら、先頭から(N-1)番目を辿るしかない。でも、これは O(N) の処理であり時間がかかる処理。
ではどうすればよいのか？

この場合、一つ前のデータの場所を覚えているポインタがあれば良い。

// 双方向リストの宣言
struct BD_List {
    struct BD_List* prev ; // 1つ前のデータへのポインタ
    int             data ;
    struct BD_List* next ; // 次のデータへのポインタ
} ;