実数型(float / double)

実数型は、単精度実数(float型)と、倍精度実数(double型)があり、それぞれ32bit,64bitでデータを扱う。

指数表現は、大きい値や小さい値を表現する場合に使われ、物理などで1.2345×10^-4といった、仮数×基数^指数で表現する方法。数学や物理では基数に10を用いるが、コンピュータの世界では基数を2とすることが多い。

単精度型(float)では、符号1bit,指数部8bit,仮数部23bitで値を覚え、数値としては、以下の値を意味する。(精度が低いので普通のコンピュータではあまり使われることはない)

符号✕ 1.仮数部 ✕ 2^{(指数数部-127)}

符号部は、正の値なら0, 負の値なら1 を用いる。

仮数部が23bitなので、有効桁(正しい桁の幅)は約7桁となる。

例えば、float型で扱える最大数は、以下のようになる。

0,1111,1111,111,1111,1111,1111,1111,1111 = 1.1111…×2¹²⁸ ≒ 2¹²⁹ ≒ 10³⁸

倍精度型(double)では、符号1bit,指数部11bit,仮数部52bitで値を覚え、数値としては、以下の意味を持つ。

符号✕ 1.仮数部 ✕ 2^{(指数部-1023)}

これらの実数で計算を行うときには、0.00000001011×2¹⁰といった値の時に、仮数部に0が並んだ状態を覚えると、計算の精度が低くなるので、1.01100000000×2²のように指数部の値を調整して小数点の位置を補正しながら行われる。

double型の場合、52bit=10進数16桁相当の有効桁、最大数で、1.1111…×2¹⁰²⁴≒10³⁰⁸

倍精度型を使えば、正しく計算できるようになるかもしれないが、実数型はただの加算でも仮数部の小数点の位置を合わせたりする処理が必要で、浮動小数点専用の計算機能を持っていないような、ワンチップコンピュータでは整数型にくらべると10倍以上遅い場合もある。

実数の注意点

C言語でプログラムを作成していて、簡単な数値計算のプログラムでも動かないと悩んだことはないだろうか？解らなくて友達のプログラムを真似したら動いたけど、なぜ自分のプログラムは動かなかったのか深く考えたことはあるだろうか？

単純な合計と平均

整数を入力し、最後に合計と平均を出力するプログラムを以下に示す。
しかし、C言語でこのプログラムを動かすと、10,10,20,-1 と入力すると、合計(sum)40,件数(cnt)3で、平均は13と表示され、13.33333 とはならない。

小数点以下も正しく表示するには、どうすればいいだろうか？
ただし、変数の型宣言を “double data,sum,cnt ;” に変更しないものとする。

// 入力値の合計と平均を求める。
#include <stdio.h>

int main() {
   int data ;
   int sum = 0 ;
   int cnt = 0 ;
   for(;;) {
      printf( "数字を入力せよ。-1で終了¥n" ) ;
      scanf( "%d" , &data ) ;
      if ( data < 0 )
         break ;
      cnt = cnt + 1 ;
      sum = sum + data ;
   }
   printf( "合計 %d¥n" , sum ) ;
   printf( "平均 %d¥n" , sum / cnt ) ;
}

C言語では、int型のsum / int型のcnt の計算は、int 型で計算を行う(小数点以下は切り捨てられる)。このため、割り算だけ実数で行いたい場合は、以下のように書かないといけない。

   printf( "平均 %lf¥n" , (double)sum / (double)cnt ) ;
   // (double)式 は、sum を一時的に実数型にするための型キャスト

まずは動く例

以下のプログラムは、見れば判るけど、th を 0度〜360度まで5度刻みで変化させながら、y = sin(th) の値を表示するプログラム。

// sin の値を出力
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double th , y ;
    for( th = 0.0 ; th <= 360.0 ; th += 5.0 ) {
        y = sin( th / 180.0 * 3.1415926535 ) ;
        printf( "%lf %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

動かないプログラム

では、以下のプログラムはどうだろうか？

// case-1 ---- プログラムが止まらない
#define PI 3.1415926535
int main() {
    double th , y ;
    // 0〜πまで100分割でsinを求める
    for( th = 0.0 ; th != PI ; th += PI / 100.0 ) {
        y = sin( th ) ;
        printf( "%lf %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

// case-2 ---- y の値が全てゼロ
int main() {
    int    th ;
    double y ;
    for( th = 0 ; th <= 360 ; th += 5 ) {
        y = sin( th / 180 * 3.1415926535 ) ;
        printf( "%d %lf¥n" , th , y ) ;
    }
    return 0 ;
}

どちらも、何気なく読んでいると、動かない理由が判らないと思う。そして、元のプログラムと見比べながら、case-1 では、「!=」を「<=」に書き換えたり、case-2 では、「int th ;」を「double th ;」に書き換えたら動き出す。

では何が悪かったのか…
回答編

数値と誤差

コンピュータで計算すると、計算結果はすべて正しいと勘違いをしている人も多い。ここで、改めて誤差について考える。特に、計器で測定した値であれば、測定値自体に誤差が含まれている。

こういった誤差が含まれる数字を扱う場合注意が必要である。例えば、12.3 と 12.300 では意味が異なる。測定値であやふやな桁を丸めたのであれば、前者は 12.2500〜12.3499 の間の値であり有効数字3桁である。後者は、12.2995〜12.300499 の間の値であり、有効数字5桁である。このため、誤差が含まれる数字の加算・減算・乗算・除算では注意が必要である。

加減乗除算の場合

加減算であれば小数点の位置を揃え、誤差が含まれる桁は有効桁に含めてはいけない。

上記の計算では、0.4567の0.0567の部分は意味がないデータとなる。(情報落ち)

乗除算であれば、有効桁の少ない値と有効桁の多い値の計算では、有効桁の少ない方の誤差が計算結果に出てくるため、通常は、有効桁5桁と2桁の計算であれば、乗除算結果は少ない2桁で書くべきである。

桁落ち

有効桁が大きい結果でも、減算が含まれる場合は注意が必要である。

例えば、以下のような計算では、有効桁7桁どうしでも、計算結果の有効桁は3桁となる。

このような現象は、桁落ちと呼ばれる。

演習問題(4回目)

こちらのフォルダに示す、Excel の表で、有効桁を考えてもらうための演習問題(ランダムに値が作られます)を有効数字を考えながら計算し、答えをレポートにまとめてください。例を以下に示す。

学際科目の情報制御基礎において、学科間でプログラミングの初歩の理解差があるので、簡単なC言語プログラミングの基礎の説明。

Hello World

“Hello World”と表示するだけのC言語プログラムは以下のようになる。

// コメントの書き方1              // "//"で始まる行は、プログラムの説明(コメント)
/* コメントの書き方2 */           // "/*"から"*/"で囲まれる範囲もコメント
#include <stdio.h>             // #で始まる行はプリプロセッサ行
                               // stdio.h には、入出力関数の説明が書いてある
int main() {                   // 一連の処理の塊を関数と呼ぶ。
                               // C言語では main() 関数を最初に実行する。
   printf( "Hello World\n" ) ; // printf() は、以下の物を表示する関数。
                               // "\n"は、文字を出力して改行するための特殊文字
   return 0 ;                  // main() 関数が、正常終了したことを意味する
}                              // 0 を返り値として返す。

“#include <…>”のプリプロセッサ行は、最初のうちは解りにくいので、「これを書かないとダメ…」と思っていればいい。

#include <stdio.h> は、別ファイル(ヘッダファイル) stdio.h に記載されているプログラムリストを読み込む機能。
stdio.h には、printf() や scanf() などの基本的な関数や定数などの情報が記載されている。

C言語の基本的な命令(文)は、”;”で終わる。(単文)
複数の処理をまとめる場合には、”{“から”}”の中に、複数の文を書き並べる。(複文)

関数とは、複数の処理をひとまとめにした、処理の「かたまり」と思えばいい。

関数の型 関数名( 仮引数 ... ) {
   処理1 ... ;
   処理2 ... ;
}

printf() の 文字列中の”\n”(あるいは”¥n”)は、改行を意味する。
「\:バックスラッシュ」は、日本語環境では「¥:円記号」で入力・表示することが多い。

変数と代入

#include <stdio.h>
#include <math.h>            // 数学関数を使う 平方根 sqrt() を使っている
int main() {
   // 変数の宣言
   int    i ;                // 符号付き32bit変数 i の宣言
   int    a = 123 , j ;      // a を 123 で初期化 , j も整数型
   float  x ;                // 単精度実数の x を宣言
   double y = 1.234 , z ;    // 倍精度実数の y を宣言し 1.234 で初期化,
                             // z も倍精度実数
   // 変数への代入
   i = 1 ;                   // i に 1 を代入
   i = 12 + 2 * a ;          // 12+2*a を代入 a は123なので、
                             //   iには、258 が入る。
   x = sqrt( 2.0 ) ;         // x に 2.0 の平方根(1.4142)を代入
   z = y * 2.0 + x * 3.0 ;   // y*2+x*3をzに代入

   // 変数の内容の表示
   printf( "%d\n" , i ) ;    // 整数型(%d)で、    i の値を表示
   printf( "%f\n" , x ) ;    // 単精度実数(%f) で、x の値を表示
   printf( "%lf\n" , z ) ;   // 倍精度実数(%lf)で、z の値を表示

   printf( "iの値は%d,xの値は%lfです。\n" , i , x ) ;

   return 0 ;                // 正常終了 0 を返す
}

変数(計算結果を格納する入れ物)を使う場合は、変数を宣言する。
変数名には、何が入っているのか理解しやすいように、名前をつければいい。(英字で始まり、英数字が続くもの,_が入ってもいい)

変数に値を記憶する時は、”変数名=式 ;”の様に書くと、代入演算子”=” の右辺を計算し、その計算結果が左辺の変数に保存される。

変数の内容を表示する時には、printf() の文字列の中に、%d,%f,%lf などの表示したい式の型に応じたものを書いておく。
式の値が、その %.. の部分に書き込まれて、出力される。

繰り返しの制御命令

最も基礎的な繰り返し命令として、for() 文を説明。

#include <stdio.h>
int main() {
   int i ;
   for( i = 1 ; i <= 10 ; i++ ) {     // iを1から10まで変化させる。
      printf( "%d %d\n" , i , i*i ) ; // i と iの二乗を表示
   }
   return 0 ;
}

for文の意味を説明するために、対応するフローチャートを示す。

先のプログラムをフローチャートで示し、その命令の実行順序と、その変数の変化を下図に示す。

練習問題1

簡単なプログラミングの練習として、前回講義の練習問題をC言語で書いてみよう。

• 電気電子工学科,電子情報工学科の学生は、出席番号が奇数は処理C,偶数は処理Dについて回答せよ。
• それ以外の学科の学生は、出席番号が奇数は処理A,偶数は処理Bの結果について回答せよ。

制御構文とフローチャート

構文の入れ子

文と複文

C言語の文法で、{,} は複数の処理を連続して実行し、複文とよばれる。複数ので文を構成する。

これに対して、a = 123 ; といったセミコロンで終わる「処理 ;」は単文といい、１つの式で文となる。

制御構文のif文は、「if ( 条件 ) 文_真」で文となる。このため条件が満たされたときに実行する文_真が単文であれば、{,} は不要である。条件が満たされない場合の処理も記述するときには、「if ( 条件 ) 文_真 else 文_偽」を使う。

// if文
if ( 条件 ) {
   a = 123 ;
}
if ( 条件 )
   a = 123 ; // 単文なら中括弧は不要

// if-then-else
if ( x >= 60 ) {
   printf( "合格点\n" ) ;
} else {
   printf( "不合格点\n" ) ;
}

同じように、「while(条件) 文」、「for(A,B,C) 文」、「do 文 while(条件) ;」も、それぞれ文を構成する。
{,} の複文は、{ 文 文 文… } のように、一連の文を実行し、それを1つの文として扱うための機能である。

// while 文
i = 0 ;
while( i < 10 ) {
   printf( "%d\n" , i ) ;
   i++ ;
}

// for 文
for( i = 0 ; i < 10 ; i++ ) {
   printf( "%d\n" , i ) ;
}

// do-while 文
i = 0 ;
do {
   printf( "%d\n" , i ) ;
   i++ ;
} while( i < 10 ) ;

練習問題2

プログラムの制御構造の確認として、以下の３つ(No.1,No.2,No.3)の問題から、
M科,C科,B科の学生は((自分の出席番号+1) % 2)+1 の問題、E科,EI科の学生は、((自分の出席番号+1) % 3)+1について、プログラムのフローチャートを描き、その処理がどのように進むのか答えよ。

レポートには、以下の点を記載すること。

• フローチャート
• 実行順序と変数の変化がわかる内容
• (できれば、実際にプログラムを動かし、正しいことを検証)

// No.1
#include <stdio.h>
int main() {
   int i , j ;
   for( i = 1 ; i <= 4 ; i++ ) {
      if ( i % 2 == 0 ) {  // i%2 は2で割った余り,i%2==0ならば偶数のとき
         for( j = 1 ; j <= 2 ; j++ )
            printf( "%d %d\n" , i , j ) ;
      }
   }
   return 0 ;
}
// No.2
#include <stdio.h>
int main() {
   int x = 10 , y = 7 , s = 0 ;
   while( x > 0 ) {
      if ( x % 2 != 0 )
         s = s + y ;
      y = y * 2 ;
      x = x / 2 ;  // 注意: xは整数型      
   }
   printf( "%d\n" , s ) ;
   return 0 ;
}

// No.3
#include <stdio.h>
int a[ 6 ] = { 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 } ; 
int main() {
   int left = 0 , right = 6 , mid ;
   int key = 13 ;
   while( right - left > 0 ) {
      mid = (left + right) / 2 ; // 整数型で計算
      printf( "%d\n" , a[ mid ] ) ;
      if ( a[ mid ] == key )
         break ;
      else if ( a[ mid ] > key )
         right = mid ;
      else
         left = mid + 1 ;
   }
   return 0 ;
}