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組み合わせ問題の解き方(予備実験)

プログラミングコンテストの競技部門では、パズルのような組み合わせ問題が 出題されることが多い。また、課題部門や自由部門であっても、複数の条件の組み合わせの中から最良のものを選ぶといった処理も求められる。そこで、この予備実験では、きわめて単純なパズル問題(組み合わせ問題) のプログラムについて扱う。

組み合わせ問題の基礎

簡単な問題として「100未満の整数の値を3つ選び、その値を辺の長さとした場合、 直角三角形となるものをすべて表示する。」について考える。

一番簡単な方法は、以下となるであろう。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

// 整数比の直角三角形の一覧を求める。
void integer_triangle( int n ) {
   for( int a = 1 ; a < n ; a++ ) {
      for( int b = 1 ; b < n ; b++ ) {
         // 一番ダサい方法
         for( int c = 1 ; c < n ; c++ ) {
            if ( a*a + b*b == c*c ) {
               printf( "%d %d %d\n" , a , b , c ) ;
            }
         }
      }
   }
}
int main() {
   integer_triangle( 100 ) ;
   return 0 ;
}

しかしこのプログラムの欠点としては、100×100×100回のループで無駄な処理が多い。

4EIの情報構造論で説明するネタだけど、こういうアルゴリズムは、O(N3) のアルゴリズムという。

ループ回数を減らすだけなら、最も内側の処理を、計算で整数値か確認すればいい。

O(N2) のアルゴリズム

void integer_triangle( int n ) {
   for( int a = 1 ; a < n ; a++ ) {
      for( int b = 1 ; b < n ; b++ ) {
         // ココも改良できるよね?
         int d = a*a + b*b ;
         int c = (int)sqrt( d ) ;
         // 斜辺Cの整数値を求め、改めて確認する。
         if ( c*c == d ) {
            printf( "%d %d %d\n" , a , b , c ) ;
         }
      }
   }
}

(1) 計算誤差の問題を考えてみよう。

たとえば、3:4:5の直角三角形で、3*3+4*4 = 25 だが、sqrt(25)は実数で計算するから、 計算誤差で4.99999で求まったらどうなるだろうか?

1~100までの数値で、”int c = sqrt( (double)(i*i) ) ;” を計算してみて、 異なる値が求まることはあるか? 多少の計算誤差があっても正しく処理が行われるにはどうすればいいか、考えてみよう。

(2) 無駄な答えについて考えてみよう。

このプログラムの答えでは、簡単な整数比の答えの「整数倍の答え」も表示されてしまう。 たとえば、(3:4:5)の答えのほかに、(6:8:10)も表示される。 こういった答えを表示しないようにするにはどうすればよいか?

また、この2つのプログラムの処理時間を実際に比べてみる。

#include <stdio.h>
#include <time.h>

int main() {
   time_t start , end ;
   // time() 関数は、秒数しか求まらないので、
   // あえて処理を1000回繰り返し、数秒かかる処理にする。
   start = time( NULL ) ;
   for( int i = 0 ; i < 1000 ; i++ ) {
      // ただし、関数内のprintfをコメントアウトしておくこと
      integer_triangle( 100 ) ;
   }
   end = time( NULL ) ;
   printf( "%lf\n" , difftime( end , start ) ) ;
   return 0 ;
}

再帰プログラミング

組み合わせ問題では、forループの多重の入れ子で問題を解けない場合が多い。 (書けないことはないけど無駄なループで処理が遅くなるか、入れ子段数が可変にできない。)

こういった場合には、再帰プログラミングがよく利用される。 もっとも簡単な再帰の例として、階乗のプログラムを考える。 通常であれば、以下のような for ループで記述することになるだろう。

// 階乗の計算
int fact( int x )
{  // ループ
   int f = 1 ;
   for( int i = 2 ; i <= x ; i++ )
      f = f * i ;
   return f ;
}

再帰呼び出しでは、関数の処理の中に、自分自身の関数呼び出しが含まれる。 また、無限に自分自身を呼び出したら処理が止まらないので、 問題を一つ小さくして、これ以上小さくできないときは処理を止めるように記述する。

int fact( int x )
{  // 再帰呼び出し
   if ( x <= 1 )
      return 1 ;
   else
      return x * fact( x - 1 ) ;
}

ここ以降は、指定長さを指定辺の組み合わせで作る課題と、後に述べるFlood-fill 課題の選択とする。

指定長を指定辺の組み合わせで作る(テーマ1)

再帰を使った簡単なパズル問題として、以下のプログラムを作成したい。

配列の中に、複数の辺の長さが入っている。これを組み合わせて指定した長さを作れ。 使用する辺はできるだけ少ない方がよい。
int a[] = { 4 , 5 , 2 , 1 , 3 , 7 } ;
(例) 辺の長さ10を作るには、(5,4,1)とか(7,3)などが考えられる。
これは、ナップサック問題の基本問題で、容量の決まったナップサックに最大量入れる組合せを求めるのと同じである。

このプログラムを解くには…

10 を [4,5,2,1,3,7] で作るには...
 (0) 6=10-4 を [4|5,2,1,3,7]で作る。
 (1) 5=10-5 を [5|4,2,1,3,7]で作る。
 (2) 8=10-2 を [2|5,4,1,3,7]で作る。
 (3) 9=10-1 を [1|5,2,4,3,7]で作る。
 (4) 7=10-3 を [3|5,2,1,4,7]で作る。
 (5) 3=10-7 を [7|5,2,1,3,4]で作る。

そこで、ここまでの考えを、以下のようなプログラムで記述してみる。
# まだ再起呼び出しにはしていない。

// 指定されたデータを入れ替える。
void swap( int*a , int*b )
{  int x = *a ;
   *a = *b ;
   *b = x ;
}
void check( int array[] , int size , int len , int n )
{
   // array[] 配列
   // size    配列サイズ
   // len     作りたい長さ
   // n       使った個数
   for( int i = n ; i < size ; i++ ) {
      // i番目を先頭に...
      swap( &array[ n ] , &array[ i ] ) ;
      printf( "check( array , %d , %d , %d )\n" ,
              size , len - array[ n ] , n+1 ) ;
      // 最初のswapでの変更を元に戻す。
      swap( &array[ i ] , &array[ n ] ) ;
   }
}
int main() {
   int a[] = { 4 , 5 , 2 , 1 , 3 , 7 } ;
   check( a , 6 , 10 , 0 ) ;
}

(1) これを再帰呼び出しにしてみよう。どう書けばいい?

void check( int array[] , int size , int len , int n )
{
   // array[] 配列
   // size    配列サイズ
   // len     作りたい長さ
   // n       使った個数
   if ( len < 0 ) {
      // 指定した丁度の長さを作れなかった。
      ;
   } else if ( len == 0 ) {
      // 指定した長さを作れたので答えを表示。
      for( int i = 0 ; i < n ; i++ ) {
         printf( "%d " , array[ i ] ) ;
      }
      printf( "\n" ) ;
   } else {
      // 問題を一つ小さくして再帰。
      for( int i = n ; i < size ; i++ ) {
         swap( &array[ n ] , &array[ i ] ) ;
         printf( "check( array , %d , %d , %d )\n" ,
                 size , len - array[ n ] , n+1 ) ;
         check( array , size , len - array[ n ] , n + 1 ) ;
         swap( &array[ i ] , &array[ n ] ) ;
      }
   }
}

(2) 少ない組み合わせの方がポイントが高い場合には、プログラムをどう変更する?
(3) 答えが1つだけで良い場合は、プログラムをどう変更する?
(4) このプログラムでは、冗長な答えがあるか?ないか?検討せよ。
(5) 前設問の整数比直角三角形のプログラムで、冗長な答えを削除するプログラムを作成せよ。

# レポートでは、(2),(3),(4)を検討した結果を実験すること。(5)までチャレンジした人は(2),(3),(4)の説明は簡単に記載するだけで良い。

別解

この問題の解き方には、もっとシンプルな書き方がある。2進数の各bitを、j番目の長さを使うか使わないかを表すこととする。

例えば、j=1番目,3番目を使うというのを、00013011)2=5で表すこととする。すべての長さを使うのであれば、161514131211)2=63 で表す。この2進数を1から63まで変化させれば、すべての組み合わせを試すことになる。

#include <stdio.h>

#define sizeofarray(A) (sizeof(A)/sizeof(A[0]))

int obj_len = 10 ;
int a[] = { 4 , 5 , 2 , 1 , 3 , 7 } ;

int main() {
  int l_max = 1 << sizeofarray( a ) ;
  for( int i = 1 ; i < l_max ; i++ ) {
    // i は a[j]を使うか使わないかを表す2進数                                   
    // i = 5 の場合                                                             
    // 5 = 0,0,0,1,0,1                                                          
    // a[] 7,3,1,2,5,4                                                          
    //           ^   ^ = 長さは6                                                
    int sum = 0 ;
    for( int j = 0 ; j < sizeofarray( a ) ; j++ ) {
      // iの2進数の各bitに対応する長さを加算                                    
      if ( (i & (1 << j)) != 0 )
        sum += a[ j ] ;
    }
    // 目的の長さを作れたので答えを表示                                         
    if ( sum == obj_len ) {
      printf( "0x%x : " , i ) ;
      for( int j = 0 ; j < sizeofarray( a ) ; j++ ) {
        if ( (i & (1 << j)) != 0 ) {
          printf( "%d " , a[ j ] ) ;
        }
      }
      printf( "\n" ) ;
    }
  }
  return 0 ;
}

このプログラムは再帰呼び出しを含まないので、プログラムの挙動も解りやすい。しかし、j番目を使うか使わないのか…という2つの状態しかない組み合わせ問題でしか使えない。今回の競技部門のように、↑,→,↓,←,回転右,回転左という6状態の場合は、使えない。

Flood fill アルゴリズム

再帰を使う他の事例として、図形の塗りつぶし問題で示す。(Wikipedia Flood-fill参照)

以下の image のような2次元配列が与えられたら、指定座標(x,y)を中心に周囲を塗りつぶす処理を作成せよ。

include <stdio.h>

// *は壁 SPCは白 この領域の指定位置を#で塗りつぶす。                            
char image1[10][10] = { // (4,4)始点で塗りつぶし後
        "*********" ,   // ********* 
        "*   *   *" ,   // *   *###*
        "*   *   *" ,   // *   *###*
        "*  *    *" ,   // *  *####*
        "***   ***" ,   // ***###***
        "*    *  *" ,   // *####*  *
        "*   *   *" ,   // *###*   *
        "*   *   *" ,   // *###*   *
        "*********" ,   // *********
} ;

char image2[10][10] = { // 応用問題用の画像例
        "*********" ,   //  *   のような隙間は通り抜けられる
        "*   *   *" ,   // *    ようにするにはどうすればいい?
        "*  **   *" ,   //   **
        "* **    *" ,   //  **  これは通り抜けられない
        "***   ***" ,   // **
        "*    *  *" ,
        "*   *   *" ,
        "*   *   *" ,
        "*********" ,
} ;

// 盤面を表示                                                                   
void print_image( char image[10][10] ) {
  for( int y = 0 ; y < 9 ; y++ ) {
    for( int x = 0 ; x < 9 ; x++ ) {
      printf( "%c" , image[y][x] ) ;
    }
    printf( "\n" ) ;
  }
}

// 再帰呼び出しを使った flud_fill アルゴリズム                                  
void flood_fill( char image[10][10] , int x , int y , char fill ) {
  // image: 塗りつぶす画像
  // x,y:   塗りつぶす場所
  // fill:  書き込む文字
  // 指定座標が空白なら
  if ( image[y][x] == ' ' ) {
    // その座標を埋める
    image[y][x] = fill ;
    //////////////////////////////////////
    // ここに周囲をflud_fillする処理を書く  //
    ////////////////////////////////////// 
  }
}

int main() {
  print_image( image1 ) ;
  flood_fill( image1 , 4 , 4 , '#' ) ;
  print_image( image1 ) ;
  return 0 ;
}

応用問題

Wikipediaのflood-fill のプログラムの説明のアルゴリズムでは、左図黒のような斜めに並んだブロックは、境界として通り抜けられないようにつくられている。

そこで、斜めに並んだブロックは通り抜けられるルールとした場合のプログラムを記述せよ。

レポート提出

レポートでは、指定長を辺の組み合わせで作るテーマか、Flood-fill のテーマのいずれかにて、以下の内容をまとめてレポートとして提出すること。

    • レポートの説明(自分の選んだテーマと自分なりの説明)
    • プログラムリスト
    • 動作確認の結果

電子情報棟学生用WiFiの設置

電子情報棟では、本館などの教室のネットワークとは別に、ネットワーク環境を活かした実験での利用ができるように無線LANのアクセスポイントを増設しました。

接続には下記のように設定してください。

  • SSID : nitfc-ei-student
  • セキュリティレベル:WPA2-エンタープライズ
  • ログイン:<教育用システムID>
    • 例:s53599ts   (@以降は不要)
  • パスワード:<教育用システムパスワード>
    • [要注意] Microsoft365のパスワードではありません。
  • 使用可能な部屋:4EI教室、5EI教室、EI棟3F演習室
  • これに合わせ、4EI教室,5EI教室壁の有線LANもすぐに使えるように設定しました。

なお ferec_wlan_* のアクセスポイントは、将来的に撤去する予定です。

fukuikousen-bot の shorturl

福井高専HPの新規記事を Twitter につぶやく bot を動かしていたけど、 HP記事のURLがつぶやきにつかないようになっていた。
原因は、Perl の WWW::Shorten::TinyURL モジュールを使っていたけど、 ライセンスの関係などで、このモジュールが動かなくなっていたみたい。
Twitter の 140 文字制限があったから、TinyURL で 高専の記事 URL を 短いものにしていたけど、最近この制限も緩いし、高専の最新記事の タイトルもそんなに文字数が多くもないし、TinyURL など使わず、 そのままの URL でつぶやくようにした。

第32回高専プロコン2021(秋田)の要綱発表

第32回の高専プロコンの要項が発表となりました。

「集え!未来創造への限りなき想い」

参加にチャレンジしたい人は、連絡してくださぃ。

授業アンケート結果

年度末恒例の授業アンケートの結果。
コロナ禍の遠隔授業などもあったけど、どの科目も80ポイントは維持できました。



3EI実験はArduinoを1年間貸し出し

電子情報工学科3年の実験では、制御用小型コンピュータキット Arduino を使うテーマがあります。
コロナ感染予防の遠隔授業の中での実験として2020昨年度より、学生には Arduino の実験機材一式を貸し出して行いました。今年度も引き続き、最初の実験ガイダンスにて貸し出しとなりました。

{CAPTION}

オブジェクト指向/2021/ガイダンス

専攻科2年のオブジェクト指向プログラミングの授業の1回目。

シラバスは、ここに示すように、最近のプログラミングの基本となっているオブジェクト指向について、その機能についてC++言語を用いて説明し、後半では対象(オブジェクト)をモデル化して設計するための考え方(UML)について説明する。

評価は、3つの課題と最終テストを各25%づつで評価を行う。

オブジェクト指向プログラミングの歴史

最初のプログラム言語のFortran(科学技術計算向け言語)の頃は、処理を記述するだけだったけど、 COBOL(商用計算向け言語)ができた頃には、データをひとまとめで扱う「構造体」(C言語ならstruct …}の考えができた。(データの構造化)

// C言語の構造体
struct Person { // 1人分のデータ構造をPersonとする
   char name[ 20 ] ;             // 名前
   int  b_year, b_month, b_day ; // 誕生日
} ;

一方、初期のFortranでは、プログラムの処理順序は、繰り返し処理も if 文と goto 文で記載し、処理がわかりにくかった。その後のALGOLの頃には、処理をブロック化して扱うスタイル(C言語なら{ 文 … }の複文で 記述する方法ができてきた。(処理の構造化)

      // ブロックの考えがない時代の雰囲気をC言語で表すと
      int i = 0 ;
LOOP: if ( i >= 10 ) goto EXIT ;
         if ( i % 2 != 0 ) goto NEXT ;
            printf( "%d " , i ) ;
NEXT:    i++ ;
      goto LOOP ;
EXIT:
      // C 言語で書けば
      int i ;
      for( i = 0 ; i < 10 ; i++ ) {
         if ( i % 2 == 0 ) {
            printf( "%d¥n" , i ) ;
         }
      }
      ! 構造化文法のFORTRANで書くと
      integer i
      do i = 0 , 9
        if ( mod( i , 2 ) == 0 ) then
          print * , i
        end if
      end do

このデータの構造化・処理の構造化により、プログラムの分かりやすさは向上し、このデータと処理をブロック化した書き方は「構造化プログラミング(Structured Programming)」 と呼ばれる。

この後、様々なプログラム言語が開発され、C言語などもできてきた。 一方で、シミュレーションのプログラム開発(例simula)では、 シミュレーション対象(object)に対して、命令するスタイルの書き方が生まれ、 データに対して命令するという点で、擬人法のようなイメージで直感的にも分かりやすかった。 これがオブジェクト指向プログラミング(Object Oriented Programming)の始まりとなる。略記するときは OOP などと書くことが多い。

この考え方を導入した言語の1つが Smalltalk であり、この環境では、プログラムのエディタも Smalltalk で記述したりして、オブジェクト指向がGUIのプログラムと親和性が良いことから、この考え方は多くのプログラム言語へと取り入れられていく。

C言語にこのオブジェクト指向を取り入れ、C++が開発される。さらに、この文法をベースとした、 Javaなどが開発されている。最近の新しい言語では、どれもオブジェクト指向の考えが使われている。

この授業の中ではオブジェクト指向プログラミングにおける、隠蔽化, 派生と継承, 仮想関数 などの概念を説明する。

構造体の導入

C++でのオブジェクト指向は、C言語の構造体の表記がベースになっているので、まずは構造体の説明。詳細な配布資料を以下に示す。

// 構造体の宣言
struct Person {      // Personが構造体につけた名前
   char name[ 20 ] ; // 要素1
   int  phone ;      // 要素2
} ;                  // 構造体定義とデータ構造宣言を
                     // 別に書く時は「;」の書き忘れに注意
// 構造体変数の宣言
struct Person saitoh ;
struct Person data[ 10 ] ;
// 実際にデータを参照 構造体変数.要素名
strcpy( saitoh.name , "t-saitoh" ) ;
saitoh.phone = 272925 ;
for( int i = 0 ; i < 10 ; i++ ) {
   scanf( "%d%s" , data[ i ].name , &(data[ i ].phone) ) ;
}

構造体に慣れていない人のための課題

  • 以下に、C言語の構造体を使った基本的なプログラムを示す。このプログラムでは、国語,算数,理科の3科目と名前の5人分のデータより、各人の平均点を計算している。このプログラムを動かし、以下の機能を追加せよ。レポートには プログラムリストと動作結果の分かる結果を付けること。
    • 国語の最低点の人を探し、名前を表示する処理。
    • 算数の平均点を求める処理。
#include <stdio.h>

struct Student {
  char name[ 20 ] ;
  int  kokugo ;
  int  sansu ;
  int  rika ;
} ;

struct Student table[5] = {
  // name ,      kokugo , sansu , rika                                          
  { "Aoyama" ,   56 ,     95 ,    83 } ,
  { "Kondoh" ,   78 ,     80 ,    64 } ,
  { "Saitoh" ,   42 ,     78 ,    88 } ,
  { "Sakamoto" , 85 ,     90 ,    36 } ,
  { "Yamagosi" ,100 ,     72 ,    65 } ,
} ;

int main() {
  int i = 0 ;
  for( i = 0 ; i < 5 ; i++ ) {
    double sum = table[i].kokugo + table[i].sansu + table[i].rika ;
    printf( "%-10.10s %3d %3d %3d %6.2lf\n" ,
            table[i].name , table[i].kokugo , table[i].sansu , table[i].rika ,
            sum / 3.0 ) ;
  }
  return 0 ;
}