B木とデータベース
2分探索木の考え方を拡張したもので、B木がある。
B木の構造
2分木では、データの増減で木の組換えの発生頻度が高い。そこで、1つのノード内に複数のデータを一定数覚える方法をとる。B木では、位数=Nに対し、最大2N個のデータd0..d2N-1と、2N+1本のポインタp0..p2Nから構成される。piの先には、di-1<x<di を満たすデータが入った B木のノードを配置する。ただし、データの充填率を下げないようにするため、データは最小でもN個、最大で2N個を保存する。
B木からデータの検索
データを探す場合は、ノード内のデータ diの中から探し、見つからない場合は、ポインタの先のデータを探す。位数がある程度大きい場合、ノード内の検索は2分探索法が使用できる。また、1つのノード内の検索が終われば、探索するデータ件数は、1/N〜1/2Nとなることから、指数的に対象件数が減っていく。よって、検索時間のオーダは、O(logN) となる。
B木へのデータの追加
B木にデータを追加する場合は、ノード内に空きがあれば、単純にデータの追加を行う。ノード内のデータが2N個を越える場合は、以下のような処理を行う。
ノード内のデータと追加データを並べ、その中央値を選ぶ。この中央値より大きいデータは、新たにつくられたノードに移す。中央値のデータは上のノードに追加処理を行う。このような方法を取ることで、2分木のような木の偏りが作られにくい構造となるようにする。
データを削除する場合も同様に、データ件数がN個を下回る場合は、隣接するノードからデータを取ってくることで、N個を下回らないようにする。
B木とデータベース
このB木の構造は、一般的にデータベースのデータを保存するために広く利用されている。
データベースシステムでは、データを効率よく保存するだけでなく、データの一貫性が保たれるように作られている。
例えば、データベースのシステムが途中でクラッシュした場合でも、データ更新履歴の情報を元にデータを元に戻し、データを再投入して復旧できなければならない。データを複数の所からアクセスした場合に、その順序から変な値にならないように、排他制御も行ってくれる。
データベースで最も使われているシステムは、データすべてを表形式で扱うリレーショナル・データベースである。
((リレーショナル・データベースの例)) STUDENT RESULT ID | name | grade | course ID | subject | point -----+----------+-------+-------- -----+---------+------- 1001 | t-saitoh | 5 | EI 1001 | math | 83 1002 | sakamoto | 4 | E 1001 | english | 65 1003 | aoyama | 4 | EI 1002 | english | 90 ((SQLの例)) select STUDENT.name, RESULT.subject, RESULT.point --射影-- from STUDENT , RESULT --結合-- where STUDENT.ID == RESULT.ID -- 串刺し -- --選択-- and RESULT.point >= 60 ; ((上記SQLをC言語で書いた場合)) for( st = 0 ; st < 3 ; st++ ) // 結合 for( re = 0 ; re < 3 ; re++ ) if ( student[ st ].ID == result[ re ].ID // 選択 && result[ re ].point >= 60 ) printf( "%s %s %d" , // 射影 student[ st ].name , result[ re ].subject , result[ re ].point ) ;
B+木
データベースの処理では、目的のデータを O(log N) で見つける以外にも、全データに対する処理も重要である。この場合、全てのデータに対する処理では、単純なB木では再帰呼び出しが必要となる。しかし、他の表でも再帰処理を伴うと、プログラムは複雑になってしまう。
そこで、B木のデータを横方向に並べて処理を行う場合に、その処理が簡単になるように B+木が用いられる。
この方法では、末端のノードは、隣接するノードへのポインタを持つ。
データベースの設計とER図
データベースの設計
リレーショナル・データベースでは、データは表形式であればなんでも良い訳ではない。
例えば、学生の成績データが以下のような構造であった場合、
ID | name | grade | subject | teacher ------+--------+-------+----------+--------- 20101 | aoyama | 1 | database | saitoh 20101 | aoyama | 1 | software | murata 20002 | suzuki | 2 | database | saitoh 20002 | suzuki | 2 | compiler | nomura 30203 | yamada | 3 | media | ogoshi
- 修正不整合: 授業担当が saitoh → sasaki のように変更になったら、複数のテーブルを修正しなければならない。大量のレコード修正は、時間がかかるし、その途中にシステムダウンしたらデータの整合性に問題が発生するかも。
- 挿入不整合: 新しい科目 internet を追加したいけど、受講学生が決まらないとデータを挿入できない。
- 削除不整合: yamada が受講を取りやめたら、科目 media も消えてしまう。
これらを考慮すると、以下のような3つの表で設計するべきである。
学生 受講 科目
ID | name | grade ID | SubID SubID | subject | teacher
------+--------+------- ------+------- ------+----------+--------
20101 | aoyama | 1 20101 | 1001 1001 | database | saitoh → sasaki
20002 | suzuki | 2 20101 | 1002 1002 | software | murata
30203 | yamada | 3 20002 | 1001 1003 | compiler | nomura
20002 | 1003 1004 | media | ogoshi
消す→ 30203 | 1004 1005 | internet | foobar → 追加
データベースの設計では、(1)概念設計、(2)論理設計、(3)物理設計が行われる。
- 概念設計：概念スキーマの決定(実体・関係モデルを使う)。上記の受講データベースの設計例
- 論理設計：論理スキーマの決定。関係データベースで実装？ほかのデータベース？
- 物理設計：物理スキーマの決定。データの格納方法や管理方法を決める。
実体関連モデル(ERモデル)
データベース設計では、実体関連モデル(ERモデル:Entity-Relation model)が使われる。 実体とは、モデル化しようとする対象で独立した存在となれるもの。 実体が持つ色々な特性は属性と呼ばれる。 属性の取りうる値の集合を定義域、同一種類の実体の集まりを実体集合と呼ぶ。 関連とは、実体同士の相互関係をモデル化したもの。
実体関連図(ER図)では、実体を長方形、関連をひし形、属性を楕円で表現する。 属性で、キーとなるものには下線をつけて表す。
ER図で調べると、実際にはもっと細かい規定で表現が行われている。 参考：IDEF1X表記とIE表記